На отрезке MN как на диаметре, построен полукруг с центром в точке O. На отрезках MO и NO по одну сторону от MN построены еще два полукруга. Найти радиус круг, касающегося всех трех построенных полукругов, если MN=6.

Корень из каждого натурального числа округлили до ближайшего целого. Сколько чисел округлили до числа 2010.
Ответ.

Задача №1.

Велосипедист за каждую минуту проезжает на 500 м меньше, чем мотоциклист, поэтому на путь в 120 км он затрачивает времени на 2 часа больше, чем мотоциклист.
Найти скорость движения велосипедиста.

Задача №2.

Вася округлил 10 нецелых чисел: до целых. Часть из них он округлил в большую сторону, часть — в меньшую сторону. Сумма округленных чисел равна 40. Сколько чисел Вася округлил в большую сторону?

30 команд участвуют в первенстве России по футболу. Каждые две команды должны сыграть между собой один матч.
Доказать, что в любой момент состязаний имеются две команды, сыгравшие к этому моменту одинаковое количество матчей.

В классе учатся 30 учеников. Во время диктанта один ученик сделал 12 ошибок, а остальные - меньше.
Докажите, что в классе имеется по крайней мере три ученика, сделавших одинаковое количество ошибок.
Ответ.

У Петрова было трое сыновей. Среди его потомков 57 имели каждый по двое сыновей и ни одной дочери, а все прочие умерли бездетными. Сколько всего потомков было у Петрова?
Ответ.

В шахматном турнире участвовало n шахматистов - гроссмейстеры и мастера. После окончания турнира оказалось, что каждый участник набрал ровно половину своих очков в партиях против мастеров. Доказать, что - целое число.

Докажите, что среди любых шести пассажиров "маршрутки" всегда найдутся
либо трое попарно знакомых, либо трое попарно незнакомых.
Ответ.

В автобусе без кондуктора ехало 20 человек. Хотя у них были только монеты достоинством в 10, 15 и 20 копеек, каждый из них расплатился за проезд и получил причитающую ему сдачу. Как это могло случиться? докажите, что у них было не менее 25 монет. (Один билет стоит 5 коп.)
Ответ.

Имеется 10 мешков монет. В девяти мешках монеты настоящие (весят по 10 г), а в одном мешке все монеты фальшивые (весят по 11 г). Одним взвешиванием определить в каком мешке фальшивые монеты.
Ответ.