Разные

Вычислить интеграл, используя дифференцирование по параметру

Вычислить интеграл, используя дифференцирование по параметру
\int _{0}^{\pi }\!{\frac {\ln (1+y\cos(x))}{\cos(x)}}{dx}
Вычислить интеграл, используя дифференцирование по параметру
\int _{0}^{\pi }\!{\frac {\ln (1+y\cos(x))}{\cos(x)}}{dx}
{\frac {d}{dy}}f(y) = {\frac {d}{dy}}\int _{0}^{\pi }\!{\frac {\ln (1+y\cos(x))}{\cos(x){\it dy}}}{dx} = \int_{0}^\pi \frac{1}{1+ycos{x}}dx = \frac{2}{\sqrt{1-y^2}}\cdot arctg \left ( \sqrt{\frac{1-y}{1+y}}\cdot tg\frac x2 \right )\left|_0^\pi
{\frac {d}{dy}}f(y)={\frac {\pi }{\sqrt {1-{y}^{2}}}}
f(y) =\pi\cdot \arcsin (y) +C

Геометрические задачи.

1) В прямоугольный треугольник с катетами длиной a и b вписан квадрат, имеющий с треугольником общий прямой угол. Найдите длину диагонали квадрата.
2) Найдите величину острого угла параллелограмма, длины высот которого равны h_1 и h_2, а периметр равен 2p.
3) Периметр параллелограмма равен 48 см, а длины его высот относятся как 5:7. определите длины сторон параллелограмма.
4) В прямоугольной трапеции ABCD - AD, BC - основания. AB - меньшая сторона, |AD|=6 см, |BC|=4 см, |AB|=3 см. Определите расстояния точки пересечения диагоналей трапеции от сторон AD и BC.
5) Точки M и N - серидины сторон BC и CD ромба ABCD. Найдите угол \angle MAN, если угол \angle BAD=60^0.
6) Найдите величину острого угла параллелограмма, длины высот которого равны h_1 и h_2, а периметр равен 2p.
7) Периметр параллелограмма равен 48 см, а длины его высот относятся как 5:7. определите длины сторон параллелограмма.
8) В прямоугольной трапеции ABCD - AD, BC - основания. AB - меньшая сторона, |AD|=6 см, |BC|=4 см, |AB|=3 см. Определите расстояния точки пересечения диагоналей трапеции от сторон AD и BC.
9) Точки M и N - серидины сторон BC и CD ромба ABCD. Найдите угол \angle MAN, если угол \angle BAD=60^0.

Найдите все значения a

ЕГЭ, C3 Найдите все значения a\neq 0, при каждом из которых хотя бы одно значение функции y = 2 + \frac{a^2}{1+x^2} не принадлежит промежутку ( - 5; 7a^{-2} -4]..
Ответ:
a < -1, a > 1 .

Математика. ЕГЭ 2009.

Решите уравнение x^6 - |4x+3|^3=25cos(x^2)-25cos(4x+3).
Решение:
1) запишем
x^6-25cos(x^2)=|4x+3|^3-25cos(4x+3)\Longleftrightarrow f(x^2)=f(4x+3)
где f(t)=|t|^3-25cos(t);
2) Функция f(t)=|t|^3-25cos(t) возрастающая, четная.
3) Поэтому
x^2=(4x+3);x^2=-(4x+3);
Ответ:
-1, -3, 2-\sqrt{7}, 2+\sqrt{7}

Математика. ЕГЭ 2009. C

Агрофирма предполагает продать моркови на 10% меньше, чем в прошлом году. На сколько процентов агрофирма должна повысить цену на свою морковь, чтобы получить за неё на 3,5% больше денег, чем в прошлом году?

Решение.
Пусть x - количество продукции, а y - цена продукции в прошлом году.
Тогда стоимость продукции в прошлом году xy .
В этом году цена в этом году y\cdot \left(1+\frac{p}{100}\right ), где p-процент увеличения стоимости
продукции. Количество продукции в этом гоу 0,9x.
Уравнение:
1,035\cdot xy = 0,9\cdot xy\cdot\left(1+\frac{p}{100}\right)
1+\frac{p}{100}=1,15
p=15%

Найдите все значения x

ЕГЭ С2 Найдите все значения x, при каждом из которых произведение значений выражений 1+\sqrt[6]{2-3x-2x^2} и 1+cos2x положительно.
Решение:
1) По условию задачи
(1+\sqrt[6]{2-3x-2x^2})\cdot(1+cos2x)>0 \Leftrightarrow \left\{{1+\sqrt[6]{2-3x-2x^2}>0\atop\ 1+cos2x>0}}\right
2) решим данную систему:
\left\{{1+\sqrt[6]{2-3x-2x^2}>0\atop\ 1+cos2x>0}}\right \Leftrightarrow \left\{{-2\le x\le 0,5\atop\ x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n, n \in Z}}\right \Leftrightarrow \left [\ {-2\le x<\frac{\pi}{2}\atop\-\frac{\pi}{2}<x \le 0,5}}\right]
Ответ: \left[ -2;-\frac{\pi}{2}\right)\cup\left(-\frac{\pi}{2};0,5\right]

Найдите абсциссы всех точек графика функции

ЕГЭ C 1) Найдите абсциссы всех точек графика функции f(x) = x^3 + \frac{9-x^2}{x-3}, касательная в которых параллельна прямой y = 26 x или совпадают с ней.
Решение:
1) Область определения функции f - объединение промежутков
(-\infty;3)\cup(3;+\infty).
Упростим формулу, задающую функцию:
f(x) = x^3 + \frac{9-x^2}{x-3} = x^3 - x -3 при x \in (-\infty;3)\cup(3;+\infty).
2) f'(x) = 3x^2-1.
f'(x) = 26 при x = -3 (3 \in (-\infty;3)\cup(3;+\infty)).
Ответ: -3

Задача с параметрами

ЕГЭ 2009При каких значениях параметра p корни уравнения
4x^2+4(p-3)x+15-7p=0
лежат в интервале (1,5) ?
Ответ.
p \in (-\frac{55}{13};-3].

Математика. ЕГЭ 2009.

Решите уравнение x^6 - |4x+3|^3=25cos(x^2)-25cos(4x+3).
Решение:
1) запишем
x^6-25cos(x^2)=|4x+3|^3-25cos(4x+3)\Longleftrightarrow f(x^2)=f(4x+3)
где f(t)=|t|^3-25cos(t);
2) Функция f(t)=|t|^3-25cos(t) возрастающая, четная.
3) Поэтому
x^2=(4x+3);x^2=-(4x+3);

Ответ:
-1, -3, 2-\sqrt{7}, 2+\sqrt{7}

Математика. "Тождественные преобразования алгебраических выражений"

Упростить выражения:
1)\sqrt2\cdot [\sqrt[3]{(\frac12)^{-3}-t^3}+\sqrt[3]{\frac{t^5+2t^4+4t^3}{4-4t+t^2}}]:(\frac{1}{\sqrt t-\sqrt 2}-\frac{1}{\sqrt t+\sqrt 2})-\sqrt[3]{t^3-8}, t\geq 0, t\neq 0.
2) \frac{(\sqrt{m^2-1}+m)^2(\sqrt{n^2-1}+n)^2+1}{(\sqrt{m^2-1}+m)(\sqrt{n^2-1}+n)}, |n|\geq 1, |m|\geq 1.
3) Вычислить
y=2b\frac{\sqrt{x^2-1}}{\sqrt{x^2-1}-x} при x=\frac 12(\sqrt{\frac{a}{b}}+\sqrt{\frac{b}{a}}),a>0, b>0
4)Большее основание трапеции равно a=24 см. Найти её меньшее основание, зная, что расстояние между серединами её диагоналей рано m=4 см.
5) В треугольнике АВС АВ=ВС, О - точка пересечения высот. Найти угол при вершине В треугольника, если ОВ=АС.
Ответы:
1) \sqrt[3]{t^3-8}
2) 2\cdot(m\cdot n+ \sqrt{(m^2-1)(n^2-1)})
3) Если a>b, то y=b-a.
Если a<b, то y=\frac{b(a-b)}{a} .
4) x=a-2m=16см.
5) 45

Математика."Тождественные преобразования рациональных выражений"

1) Среднее геометрическое двух чисел на 12 больше меньшего из этих чисел, а среднее арифметическое тех же чисел на 24 меньше большего из чисел. Найдите эти числа.
2) Разность квадратов цифр двузначного числа, сложенная с произведением его цифр, равна 61, а сумма цифр равна 10. Найдите это число.
3) Произведение цифр двузначного числа в 3 раза меньше самого числа. Если к исходному числу прибавить 18, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найдите это число.
4) Сравнить два числа a и b, если a=\sqrt2-\sqrt3; b=\sqrt{(1-\sqrt3)^2}-1.
5) Упрастите выражение\frac{0.3(38)+\frac1 3}{0.13(8)+\frac{1}{36}}.

ЗАДАНИЕ № 2
1) Найти два натуральных числа, сумма которых равна 85, а наименьшее общее кратное равно 102.
2) Найти пар натуральных чисел наименьшее общее кратное которых равно 42, а наибольший общий делитель равен 7.
3) Вычислить a = \frac{3,60(2)+\frac{179}{450}}{0,2(35)+\frac{97}{990}}.
4) Сравнить три числа
a = \sqrt 2-\sqrt 3, b = \frac{2}{\sqrt 3+1}}, c = \sqrt{(1-\sqrt 3)^2}-1.
5) Произведение натурального числа и числа, записанного теми же цифрами в обратном порядке, равно 2430. Найти это число.
Историческая справка о десятичных дробях. Десятичные дроби были введены значительно позже, чем обыкновенные. Впервые теорию десятичных дробей разработал среднеазиатский математик и астроном ал-Каши в начале XV в. В Европе десятичные дроби были вторично открыты голландским математиком Симоном Стевином в 1585 г. Совре¬менное обозначение десятичных дробей — введение запятой для отделения целой части числа от дробной было предложено немецким астрономом И. Кеплером (1571—1630). В Англии и США вместо запя-той до сих пор употребляется точка — знак, предложенный изобрета-телем логарифмов Джоном Непером в 1616 г. В России десятичные дроби впервые были изложены в «Арифметике» Магницкого.
Ответы к домашнему заданию "Тождественные преобразования рациональных выражений" (31 мая 2009 г)
1) 54;
2) 73;
3) 24;
4) \sqrt 2-\sqrt3 < \sqrt{(1-\sqrt 3)^2}-1;
5) 4,(03).